Parabológrafo


O parabológrafo da figura e da animação abaixo é um instrumento articulado que possibilita que se tracem parábolas a partir de seu foco e reta diretriz.

Isso é possível por que foi construído de modo que, ao se deslocar parte do mecanismo sobre uma reta (diretriz) um de seus pontos (aonde se acopla o lápis) - que foi apropriadamente construído - percorre um "caminho" definido por uma curva parabólica.

Com o botão direito do mouse sobre o ponto Lápis, selecione a opção Habilitar Rastro e depois movimente o ponto Mova, sobre o segmento horizontal pontilhado cinza.




http://www.museo.unimo.it/theatrum/macchine/_00lab.htm
Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Veja os detalhes da construção desse mecanismo seguindo as instruções abaixo.

Com o botão direito do mouse sobre o ponto Lápis, selecione a opção Habilitar Rastro e depois movimente o ponto M sobre o segmento horizontal pontilhado cinza.


Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Modifique o tamanho das hastes do parabológrafo movimentando o ponto B.

Selecione a caixinha na animação "veja objetos escondidos" para ver os detalhes da construção. Depois aperte o botão Iniciar na barra de navegação do GeoGebra para acompanhar toda a construção.

Vá em exibir e selecione Protocolo de Construção... para mais detalhes.

 

 

Vamos agora entender os princípios matemáticos de construção do mesmo.

Para que este instrumento desenhe uma parábola de foco F e reta diretriz d, precisamos mostrar que a distância FL é sempre igual á distância de L até a reta d (reta diretriz).

Isto é FL = LM (já que -por construção - M está sobre a perpendicular que passa por L!).

Por construção temos que:

  • F (foco) é ponto fixo;
  • M é ponto móvel sobre a reta diretriz;
  • FHMH' é losango;
  • m é mediatriz de MF e diagonal do losango FHMH';
  • j é reta perpendicular à diretriz passando por M;
  • L é ponto de intersecção de j e m;

 

Como L é ponto sobre a diagonal do losango (sobre reta m) e m é reta mediatriz do segmento MF. Pelo teorema da mediatriz temos que, de fato, LM = LF!