Modelos Matemáticos - Funções Quadráticas (Complementos - problemas)


    1. (UNESP-03) Suponha que um projétil de ataque partiu da origem do sistema de coordenadas cartesianas descrevendo uma parábola, conforme a figura.

a) Sabendo-se que o vértice da parábola do projétil de ataque é dado pelas coordenadas (15,45) e baseado nos dados da figura, calcule a equação da parábola do projétil de ataque.

b) Um projétil de defesa é lançado a partir das coordenadas (6,0) e sua trajetória também descreve uma parábola segundo a equação y = - 0,25x² + 9x - 45. Considerando-se que o projétil de defesa atingirá o projétil de ataque, calcule as coordenadas onde isto ocorrerá e diga se o alvo estará a salvo do ataque.

 

    2. (UNIFESP-04) As figuras A e B representam dois retângulos de perímetros iguais a 100 cm , porém de áreas diferentes, iguais a 400 cm² e 600 cm², respectivamente. A figura C exibe um retângulo de dimensões (50 - x) cm e x cm, de mesmo perímetro que os retângulos das figuras A e B .

a) Determine a lei, f(x), que expressa a área do retângulo da figura C e exiba os valores de x que fornecem a área do retângulo da figura A.

b) Determine a maior área possível para um retângulo nas condições da figura C.

 

    3. (UFRJ-03) José pergunta ao Valdir: - Aquela bola que o jogador do Flamengo chutou, naquela falta contra o São Paulo na final da Copa dos Campeões, seguiu uma trajetória com forma de parábola? - Não, respondeu Valdir, pois a bola foi batida com muito efeito. Um exemplo de parábola seria uma bola chutada para frente e para cima, sem efeito e desprezando-se a resistência do ar .

Considerando o comentário de Valdir, se uma bola fosse chutada para frente e para cima, sem efeito e desprezando-se a resistência do ar, atingindo altura máxima no ponto (2,4), como representado no gráfico abaixo, a distância (d), em metros, à partir da origem, do ponto em que a bola toca o chão pela primeira vez depois de ser chutada, equivale a

a) 3m.    b) 3,5m.    c) 4m.    d) 5m.    e) 6,5m.
 

    4. (UFRN-01) O Sr. José dispõe de 180 metros de tela, para fazer um cercado retangular, aproveitando, como um dos lados, parte de um extenso muro reto. O cercado compõe-se de uma parte paralela ao muro e três outras perpendiculares a ele (ver figura).

Quais os valores de X e Y para cercar a maior área possível, com a tela disponível?

 

    5. Uma microempresa, no seu segundo ano de funcionamento, registrou um lucro de R$28 mil, o que representou um acréscimo de 40% sobre o lucro obtido no seu primeiro ano de existência. No quarto ano, o lucro registrado foi 20% inferior ao do segundo ano. Considerando apenas esses três registros e representando por x o tempo de existência da empresa, em anos, pode-se modelar o lucro L(x) - em múltiplos de R$1.000,00 - obtido nos 12 meses anteriores à data x, por meio de uma função polinomial de grau 2 da forma L(x)=ax²+bx+c. os coeficientes a, b e c desse polinômio são unicamente determinados a partir das informações acima, em que L (1), L(2)=28 e L(4) representam os lucros da empresa no primeiro, no segundo e no quarto anos, respectivamente. Uma vez encontrado esse polinômio, o modelo permite inferir se houve lucro (ou prejuízo) em datas diferentes daquelas registradas, desde que se considere x 1.

    Com base nas informações e no modelo polinomial acima, julgue os itens seguintes:

    (1) O lucro da empresa no quarto ano foi de R$ 24 mil.

    (2) No plano de coordenadas xOy, o gráfico da função L é parte de uma parábola de concavidade voltada para baixo.

    (3) O lucro obtido pela empresa no terceiro ano foi maior que o registrado no segundo ano.

    (4) O lucro máximo (anual) alcançado pela empresa foi registrado durante o primeiro trimestre do terceiro ano.

    (5) A empresa não apresentou prejuízo durante os 5 primeiros anos.

 

    6. Um laboratório testou a ação de uma droga em uma amostra de 720 frangos. Constatou-se que a lei de sobrevivência do lote de frangos era dada pela relação v(t)=at²+b, onde v(t) é o número de elementos vivos no tempo t (meses). Sabendo-se que o último frango morreu quando t=12 meses após o início da experiência, qual era a quantidade de frangos que ainda estava viva no 10 ° mês?

    7. (FAAP) A água que está esguichando de um bocal mantido horizontalmente a 4 metros acima do solo descreve uma curva parabólica com o vértice no bocal. Sabendo-se que a corrente de água desce 1 metro medido na vertical nos primeiros 10 metros de movimento horizontal, conforme a figura a seguir:

Podemos expressar y como função de x:

a) y = -x² + 4x + 10         b) y = x² - 10x + 4         c) y = (-x²/10) + 10

d) y = (-x²/100) + 10x + 4         e) y = (-x²/100) + 4

 


    8. Na trajetória da bola ao ser batida uma falta do jogo, é tal que a sua altura h em metros, varia com o tempo t em segundos, de acordo com a equação h = -t² + 10t com 0 t 10. Então a afirmativa correta é:

    a) A altura máxima atingida pela bola é de 25 m.

    b) A distância do local da falta até o local onde ela atinge o solo é 20m.

    c) O valor de t para o qual a bola atinge a sua altura máxima é maior que 5s.

    d) A bola nesse intervalo de tempo, atinge 3 vezes o solo.

    e) A bola começa a descer a partir de 6 s.

     


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